2変数の関係を定量化する方法～相関分析①～

2つのデータの関係を確認するのに使われるグラフが「散布図」でした。

2023年7月4日 散布図を使ったデータ解析方法

散布図を見れば、2つの変数に関係があるかどうか、相関関係の有無を判断できます。
しかし、グラフの見た目で判断すると、人によって判断結果が異なることもあり得ます。

今回は相関関係の有無を定量的に判断できる、相関分析について解説します。

1.　相関分析とは

対になった2つのデータ$(x,y)$が与えられているとき、$x$と$y$の関係を分析することを相関分析と言います。
相関分析を行うデータは、以下の2種類に分けられます。

1)　$x$と$y$の因果関係ははっきりしていないが、関連の強さに関心がある場合。

　例えば、勉強時間$(x)$とテストの点数$(y)$などです。

2)　$x$が要因系で$y$が結果系のであることが明確な場合。

　例えば、気温$(x)$とアイスクリームの売上$(y)$などです。

2.　相関係数とは

さて、相関分析を行う第一歩は散布図を描くことですが、2つのデータの関係の強さを数値で表す指標が相関係数$r$です。
相関係数$r$は$-1\leqq r\leqq 1$の範囲を取り、$r$は正の相関が強いほど1に、負の相関が強いほど-1に近づき、相関関係がないと0に近くなる性質があります。

散布図と相関係数の例を以下に示します。

散布図
相関係数$r$	$r=-0.98$	$r=-0.71$	$r=0.10$	$r=0.76$	$r=0.99$

両者の関係が直線に近づくほど、相関係数の絶対値は1に近づくことが分かります。
相関係数を求めれば、相関の強さを散布図の見た目だけでなく、数値で議論することが可能です。

3.　相関係数の求め方

相関係数は、Excelで簡単に計算できますが、どのような計算をしているのかを知りたい方のために、手計算の方法も示します。

【事例1】

以下のデータは、ある製品の長さと重量を測定したデータです。

No.	長さ(cm)	重量(g)
1	20.96	53.5
2	21.28	53.6
3	21.09	53.6
4	21.48	54.6
5	22.0	55.8
6	21.64	55.2
7	21.59	55.2
8	21.52	54.8
9	21.75	54.8
10	21.94	55.8
11	21.31	53.4
12	21.52	54.1
13	21.58	54.5
14	22.14	56.4
15	21.32	54.9

長さ$(x)$と重量$(y)$について散布図を作成すると、正の相関関係が見られます。

このデータについて、相関係数を求めてみましょう。

3-1.　Excelを用いた相関係数の求め方

Microsoft Excelを使えば、簡単に相関係数を求められます。
Excelには「CORREL」という相関係数を計算してくれる関数があるので、この関数を用いると相関係数$r=0.90$が求まります。

初めて使うときはアドインの操作が必要ですが、データ分析ツールにも「相関」のメニューがあり、こちらでも相関係数を求められます。
複数の変数同士の相関係数をまとめて見たい場合は、データ分析ツールを使うのが簡単です。

3-2.　手計算による相関係数の求め方

相関係数の導出過程を詳しく見ていきます。

相関係数$r$は以下の式で求めます。

相関係数：$r={\displaystyle \frac{S_{xy}}{S_{xx}{S}_{yy}}=\frac{x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{積}\mathrm{和}}{\sqrt{(x\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{和})(y\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{和})}}}$

各項は、以下のように計算します。

$x$の偏差平方和：$S_{xx}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2}{n}}$

　　　　　　　　　　$=(x\mathrm{の}\mathrm{個}々\mathrm{の}\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{の}2\mathrm{乗}\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計})-{\displaystyle \frac{(x\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計}{)}^2}{\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{数}}}$

$y$の偏差平方和：$S_{yy}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2=\sum _{i=1}^n{y}_i^2-\frac{(\sum _{i=1}^n{y}_i{)}^2}{n}}$

　　　　　　　　　　$=(y\mathrm{の}\mathrm{個}々\mathrm{の}\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{の}2\mathrm{乗}\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計})-{\displaystyle \frac{(y\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計}{)}^2}{\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{数}}}$

$x$と$y$の偏差積和：$S_{xy}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}$

　　　　　　　　　　$={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\displaystyle \frac{(\sum _{i=1}^n{x}_i)(\sum _{i=1}^n{y}_i)}{n}}}$

　　　　　　　　　　$=(x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計})-{\displaystyle \frac{(x\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計})(y\mathrm{の}\mathrm{合}\mathrm{計})}{\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{数}}}$

以上の式に事例のデータを代入すると、以下のようになります。

$S_{xx}=({20.96}^2+{21.28}^2+\cdots +{21.32}^2)-{\displaystyle \frac{(20.96+21.28+\cdots +21.32{)}^2}{15}}$
　　$=6961.94-{\displaystyle \frac{(323.12{)}^2}{15}=1.502}$

$S_{yy}=({53.5}^2+{53.6}^2+\cdots +{54.9}^2)-{\displaystyle \frac{(53.5+53.6+\cdots +54.9{)}^2}{15}}$
　　$=44860.36-{\displaystyle \frac{(820.2{)}^2}{15}=11.824}$

$S_{xy}=(20.96\times 53.5+21.28\times 53.6+\cdots +21.32\times 54.9)$
　　　
　　　$-{\displaystyle \frac{(20.96+\cdots +21.32)(53.5+\cdots +54.9)}{15}}$
　　
　　$=17672.00-{\displaystyle \frac{323.12\times 820.2}{15}=3.8024}$

したがって、相関係数$r$は以下のようになります。
$$r={\displaystyle \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}{S}_{yy}}}=\frac{3.8024}{\sqrt{1.502\times 11.824}}=0.902}$$
得られた相関係数$r$の値は1に近いことから、長さ$(x)$と重量$(y)$の間には、強い正の相関あると言えます。

4.　実践のためのアドバイス

相関分析では、2つの変数の関係性を相関係数で定量化できます。
特に、要因系と結果系の散布図を作成し、相関係数が大きいと因果関係があると判断しがちですが、それは必ずしも正しいとは言えません。
因果関係があると相関係数は大きくなりますが、その逆は真とは限らないことに留意しましょう。

5.　おわりに

今回は、相関分析について解説しました。

相関の強さは相関係数で表せ、その算出方法を理解いただけたと思います。
相関の強さを定量的に評価したいときは、相関係数を求めてましょう。
なお、相関分析を行うにあたっていくつか注意事項があるのですが、それは次の記事でまとめて解説します。

2023年8月11日 2変数の関係を定量化する方法～相関分析②～