2変数の関係を定量化する方法～相関分析①～

2つのデータの関係を確認するのに使われるグラフが「散布図」でした。

2023年7月4日散布図を使ったデータ解析方法

散布図を見れば、2つの変数に関係があるかどうか、相関関係の有無を判断できます。
しかし、グラフの見た目で判断すると、人によって判断結果が異なることもあり得ます。

今回は相関関係の有無を定量的に判断できる、相関分析について解説します。

この記事で分かること

相関分析とは何か
相関係数とは何か
相関係数の求め方

1.　相関分析とは
2.　相関係数とは
3.　相関係数の求め方
- 3-1.　Excelを用いた相関係数の求め方
- 3-2.　手計算による相関係数の求め方
4.　実践のためのアドバイス
5.　おわりに

1.　相関分析とは

対になった2つのデータ$(x,y)$が与えられているとき、$x$と$y$の関係を分析することを相関分析と言います。
相関分析を行うデータは、以下の2種類に分けられます。

1)　$x$と$y$の因果関係ははっきりしていないが、関連の強さに関心がある場合。

　例えば、勉強時間$(x)$とテストの点数$(y)$などです。

2)　$x$が要因系で$y$が結果系のであることが明確な場合。

　例えば、気温$(x)$とアイスクリームの売上$(y)$などです。

2.　相関係数とは

さて、相関分析を行う第一歩は散布図を描くことですが、2つのデータの関係の強さを数値で表す指標が相関係数$r$です。
相関係数$r$は$-1≦r≦1$の範囲を取り、$r$は正の相関が強いほど1に、負の相関が強いほど-1に近づき、相関関係がないと0に近くなる性質があります。

散布図と相関係数の例を以下に示します。

両者の関係が直線に近づくほど、相関係数の絶対値は1に近づくことが分かります。
相関係数を求めれば、相関の強さを散布図の見た目だけでなく、数値で議論することが可能です。

3.　相関係数の求め方

相関係数は、Excelで簡単に計算できますが、どのような計算をしているのかを知りたい方のために、手計算の方法も示します。

【事例1】

以下のデータは、ある製品の長さと重量を測定したデータです。

No.	長さ(cm)	重量(g)
1	20.96	53.5
2	21.28	53.6
3	21.09	53.6
4	21.48	54.6
5	22.0	55.8
6	21.64	55.2
7	21.59	55.2
8	21.52	54.8
9	21.75	54.8
10	21.94	55.8
11	21.31	53.4
12	21.52	54.1
13	21.58	54.5
14	22.14	56.4
15	21.32	54.9

長さ$(x)$と重量$(y)$について散布図を作成すると、正の相関関係が見られます。

このデータについて、相関係数を求めてみましょう。

3-1.　Excelを用いた相関係数の求め方

Microsoft Excelを使えば、簡単に相関係数を求められます。
Excelには「CORREL」という相関係数を計算してくれる関数があるので、この関数を用いると相関係数$r=0.90$が求まります。

初めて使うときはアドインの操作が必要ですが、データ分析ツールにも「相関」のメニューがあり、こちらでも相関係数を求められます。
複数の変数同士の相関係数をまとめて見たい場合は、データ分析ツールを使うのが簡単です。

3-2.　手計算による相関係数の求め方

相関係数の導出過程を詳しく見ていきます。

相関係数$r$は以下の式で求めます。

相関係数：$r=\displaystyle \frac{S_{xy}}{S_{xx}S_{yy}}=\frac{xとyの偏差積和}{\sqrt{(xの偏差平方和)(yの偏差平方和)}}$

各項は、以下のように計算します。

$x$の偏差平方和：$S_{xx}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}{n}$

　　　　　　　　　　$=(xの個々のデータの2乗の合計)-\displaystyle \frac{(xの合計)^2}{データ数}$

$y$の偏差平方和：$S_{yy}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}y_i)^2}{n}$

　　　　　　　　　　$=(yの個々のデータの2乗の合計)-\displaystyle \frac{(yの合計)^2}{データ数}$

$x$と$y$の偏差積和：$S_{xy}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

　　　　　　　　　　$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\displaystyle \frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)(\sum_{i=1}^{n}y_i)}{n}$

　　　　　　　　　　$=(xとyの積の合計)-\displaystyle \frac{(xの合計)(yの合計)}{データ数}$

以上の式に事例のデータを代入すると、以下のようになります。

$S_{xx}=(20.96^2+21.28^2+\cdots +21.32^2)-\displaystyle \frac{(20.96+21.28+\cdots +21.32)^2}{15}$
　　$=6961.94-\displaystyle \frac{(323.12)^2}{15}=1.502$

$S_{yy}=(53.5^2+53.6^2+\cdots +54.9^2)-\displaystyle \frac{(53.5+53.6+\cdots +54.9)^2}{15}$
　　$=44860.36-\displaystyle \frac{(820.2)^2}{15}=11.824$

$S_{xy}=(20.96\times53.5+21.28\times 53.6+\cdots +21.32\times 54.9)$
　　　
　　　$-\displaystyle \frac{(20.96+\cdots +21.32)(53.5+\cdots +54.9)}{15}$
　　
　　$=17672.00-\displaystyle \frac{323.12\times 820.2}{15}=3.8024$

したがって、相関係数$r$は以下のようになります。
$$r=\displaystyle \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\frac{3.8024}{\sqrt{1.502\times 11.824}}=0.902$$
得られた相関係数$r$の値は1に近いことから、長さ$(x)$と重量$(y)$の間には、強い正の相関あると言えます。